高等数学の知識フレーム
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概要/内容
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極限
核心概念
数列の極限：n が限りなく大きくなるとき、数列 {aₙ} が定数 A に限りなく近づくことを、次で表す：
関数の極限：（または ）のとき関数値が定数 A に限りなく近づくことを、次で表す：
左極限と右極限：、 はそれぞれ左右から近づく
無限小と無限大：極限が 0 の変量を無限小、絶対値が限りなく増大する変量を無限大という
無限小の比較：高次・同次・等価の無限小があり、等価置換で計算を簡略化できる
中核定理
極限が存在するための必要十分条件：左極限と右極限がともに存在し等しいこと（関数の極限）；単調で有界な数列は必ず極限をもつ
はさみうちの定理：もし かつ ならば
2つの重要極限：；
四則演算の法則：和・差・積・商の極限は極限の和・差・積・商に等しい（分母の極限が 0 でない場合）
合成関数の極限法則：内側の極限が存在し外側の関数が連続なら代入できる
連続と不連続：関数がある点で連続であることは次と同値；不連続点は第1種（除去可能・跳躍）と第2種（無限・振動）に分かれる
閉区間で連続な関数の性質：有界性、最大値・最小値の定理、中間値の定理、零点の定理
復習の要点
極限を求める常用法：直接代入、等価無限小の置換、ロピタルの定理、はさみうち、単調有界、テイラー展開
ミスしやすい点：等価無限小の置換は積・商でのみ可、和・差では慎重に
導関数
核心概念
定義：、すなわちその点における瞬間変化率
幾何学的意味：曲線上の点 における接線の傾き
微分可能性と連続性：微分可能なら連続、連続でも微分可能とは限らない
高階導関数：2階以上の導関数で、 は変化率の変化率を表す
陰関数と媒介変数表示の微分：陰関数は両辺を x で微分する；媒介変数表示では
中核定理
基本微分公式：、、、 など
四則の微分法則：、、
合成関数の微分（連鎖律）：
逆関数の微分：
応用
単調性の判定： で増加、 で減少
極値の判定：一階導関数の符号変化法、二階導関数法（ が極大値）
最大・最小値の求め方：区間内の停留点、微分不可能な点、端点の関数値を比較する
凹凸と変曲点： の符号で判定する
漸近線：水平・垂直・斜め漸近線の求め方
ロピタルの定理： と 型の不定形の極限を求める
微分
核心概念
定義： のとき、、微分は関数の増分の線形主要部である
一変数関数では「微分可能」と「導関数が存在する」ことは同値
微分の幾何学的意味：接線の縦座標の増分
中核定理と法則
微分形式の不変性：u が独立変数でも中間変数でも、 が成り立つ
微分の四則法則：、、
一階微分形式の不変性は近似計算と積分の置換に用いる
応用
近似計算：
誤差評価：独立変数の誤差から関数値の誤差を見積もる
導関数との関係：導関数は微商 、微分は増分の線形近似に重点を置く
積分
不定積分
概念： のとき、、微分の逆演算である
基本積分公式：べき関数・指数・三角・逆三角などの基本積分表
置換積分法：第1種（微分を合わせる）、第2種（変数置換、三角置換を含む）
部分積分法：、積の形の被積分関数に適する
有理関数の積分：部分分数分解してから項ごとに積分
定積分
概念：リーマン和の極限
幾何学的意味：曲辺台形の代数的面積
ニュートン・ライプニッツの公式：、定積分の計算を原始関数の値の計算に変える
定積分の性質：線形性、区間の加法性、符号の保存性、評価定理、積分中値定理
変上限積分関数：，
中核定理と方法
積分中値定理：，
微積分の基本定理：変上限積分関数の導関数は被積分関数に等しく、ニュートン・ライプニッツの公式の基礎となる
定積分の置換と部分積分：置換では上下限も同時に変更する
応用
面積：平面図形の面積（直交座標・極座標）
体積：回転体の体積（円盤法・殻法）
弧長、回転曲面の面積
物理への応用：変力の仕事、液体の圧力、重心
微分方程式
核心概念
定義：未知関数とその導関数を含む方程式。階数は最高階導関数の階数
一般解と特殊解：一般解は階数と同じ個数の独立な任意定数を含む；初期条件から特殊解を定める
一階微分方程式
変数分離形：、分離して両辺を積分する
同次形方程式：、 と置くと変数分離形になる
一階線形方程式：、一般解は
ベルヌーイ方程式：、 と置くと一階線形になる
全微分方程式： かつ のとき原始関数が存在する
高階微分方程式
階数を下げられる型： は逐次積分； は ； は とし、y を独立変数とする
二階定係数同次線形方程式：、特性方程式 の根によって一般解の形が決まる（異なる2実根、重根、共役複素根）
二階定係数非同次線形方程式：一般解 = 同次一般解 + 特殊解。特殊解は自由項の型（、）に応じて未定係数の形を設定する
中核定理
解の構造定理：非同次方程式の一般解は、対応する同次方程式の一般解に非同次方程式の一つの特殊解を加えたもの
重ね合わせの原理：自由項がいくつかの項の和であるとき、特殊解はそれぞれ求めて加え合わせられる
存在と一意性の定理：連続性の条件を満たすとき、初期値問題の解は存在し一意である
級数
定数項級数
概念： の部分和数列の極限が存在すれば収束、なければ発散
収束の必要条件：（満たさなければ発散）
幾何級数：， は収束、 は発散
p 級数：， は収束、 は発散
中核の判定法
正項級数の比較判定法：既知の収束／発散級数と比較する（極限形式を含む）
比判定法（ダランベール）：， なら収束、 なら発散
根判定法（コーシー）：、判定規則は比判定法と同じ
交代級数のライプニッツ判定法： が単調減少で 0 に収束するとき収束する
絶対収束と条件収束：絶対収束すれば必ず収束；条件収束は別に判定する
べき級数
概念：、収束区間は収束半径 R を中心とする
収束半径の求め方：，（または根判定法で求める）
収束域：収束区間をもとに端点を個別に検討する
べき級数の性質：収束区間内で項別微分・項別積分ができ、収束半径は変わらない
関数の展開：テイラー級数、マクローリン級数、常用展開式（、、、、）
フーリエ級数
概念：周期関数を三角級数に展開し、係数は積分公式で定まる
ディリクレの収束定理：条件を満たすときフーリエ級数は関数に収束する（不連続点では左右の極限の平均値に収束）
偶関数・奇関数のフーリエ級数：奇関数は正弦項のみ、偶関数は余弦項のみ
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