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고등수학 지식 프레임

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2026-10-28 0 보고서
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극한
핵심 개념
수열의 극한: n이 한없이 커질 때 수열 {aₙ}이 상수 A에 한없이 가까워지는 것을 다음과 같이 나타낸다:
함수의 극한:(또는 )일 때 함수값이 상수 A에 한없이 가까워지는 것을 다음과 같이 나타낸다:
좌극한과 우극한:、 은 각각 좌우에서 접근한다
무한소와 무한대: 극한이 0인 변량을 무한소, 절댓값이 한없이 커지는 변량을 무한대라 한다
무한소의 비교: 고차, 동차, 등가 무한소가 있으며 등가 치환으로 계산을 간단히 한다
핵심 정리
극한이 존재할 필요충분조건: 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 같을 것(함수의 극한), 단조이고 유계인 수열은 반드시 극한을 가진다
샌드위치 정리: 만약 이고 이면
두 가지 중요한 극한:；
사칙연산 법칙: 합·차·곱·몫의 극한은 극한의 합·차·곱·몫과 같다(분모의 극한이 0이 아닐 때)
합성함수 극한 법칙: 내부 극한이 존재하고 외부 함수가 연속이면 대입할 수 있다
연속과 불연속: 함수가 한 점에서 연속인 것은 다음 조건과 동치; 불연속점은 제1종(제거 가능, 도약)과 제2종(무한, 진동)으로 나뉜다
폐구간 연속함수의 성질: 유계성, 최대·최소값 정리, 중간값 정리, 영점 정리
복습 포인트
극한을 구하는 상용 방법: 직접 대입, 등가 무한소 치환, 로피탈 정리, 샌드위치, 단조 유계, 테일러 전개
실수하기 쉬운 점: 등가 무한소 치환은 곱·나눗셈에서만 가능하고 덧셈·뺄셈에서는 신중히
도함수
핵심 개념
정의:, 즉 그 점에서의 순간 변화율
기하학적 의미: 곡선 위의 점 에서의 접선의 기울기
미분가능과 연속: 미분가능하면 연속이지만, 연속이라고 미분가능한 것은 아니다
고계 도함수: 2계 이상의 도함수로, 는 변화율의 변화율을 나타낸다
음함수와 매개변수 방정식의 미분: 음함수는 양변을 x에 대해 미분하고, 매개변수 방정식은
핵심 정리
기본 미분 공식:、、、 등
사칙 미분 법칙:、、
합성함수 미분(연쇄법칙):
역함수 미분:
응용
단조성 판정: 이면 증가, 이면 감소
극값 판정: 1계 도함수 부호 변화법, 2계 도함수법( 가 극대값)
최대·최소값 구하는 법: 구간 내 정류점, 미분불가점, 끝점의 함숫값을 비교한다
볼록성과 변곡점: 의 부호로 판정한다
점근선: 수평, 수직, 사선 점근선 구하는 법
로피탈 정리: 과 형 부정형의 극한을 구한다
미분
핵심 개념
정의: 일 때,, 미분은 함수 증분의 선형 주부분이다
일변수 함수에서 미분가능과 도함수 존재는 동치
미분의 기하학적 의미: 접선의 종좌표 증분
핵심 정리와 법칙
미분형식 불변성: u가 독립변수든 중간변수든 가 성립한다
미분 사칙 법칙:、、
1계 미분형식 불변성은 근사 계산과 적분 치환에 쓰인다
응용
근사 계산:
오차 추정: 독립변수의 오차로부터 함숫값의 오차를 추정
도함수와의 관계: 도함수는 미분상 , 미분은 증분의 선형 근사에 중점을 둔다
적분
부정적분
개념: 일 때,, 미분의 역연산이다
기본 적분 공식: 거듭제곱, 지수, 삼각, 역삼각 등 기본 적분표
치환적분법: 제1종(미분 맞추기), 제2종(변수 치환, 삼각 치환 포함)
부분적분법:, 곱 형태의 피적분함수에 적합
유리함수 적분: 부분분수 분해 후 항별로 적분
정적분
개념: 리만 합의 극한
기하학적 의미: 곡선 사다리꼴의 대수적 넓이
뉴턴-라이프니츠 공식:, 정적분 계산을 원시함수 값 계산으로 바꾼다
정적분의 성질: 선형성, 구간 가법성, 부호 보존성, 평가 정리, 적분 중간값 정리
변상한 적분함수:，
핵심 정리와 방법
적분 중간값 정리:，
미적분 기본 정리: 변상한 적분함수의 도함수는 피적분함수와 같으며, 뉴턴-라이프니츠 공식의 기초가 된다
정적분의 치환과 부분적분: 치환 시 상하한도 함께 바꾼다
응용
넓이: 평면도형의 넓이(직교좌표, 극좌표)
부피: 회전체의 부피(원판법, 원통껍질법)
호의 길이, 회전곡면의 넓이
물리 응용: 변력이 한 일, 액체 압력, 무게중심
미분방정식
핵심 개념
정의: 미지함수와 그 도함수를 포함한 방정식이며, 계수는 최고계 도함수의 계수
일반해와 특수해: 일반해는 계수와 같은 수의 독립적인 임의상수를 포함하고, 초기조건으로 특수해를 정한다
1계 미분방정식
변수분리형:, 분리한 뒤 양변을 적분한다
동차방정식:, 로 두면 변수분리형이 된다
1계 선형방정식:, 일반해는
베르누이 방정식:, 로 두면 1계 선형이 된다
완전미분방정식: 이고 일 때 원시함수가 존재한다
고계 미분방정식
차수를 낮출 수 있는 유형: 은 차례로 적분; 은 ； 은 로 두고 y를 독립변수로 한다
2계 상수계수 동차 선형방정식:, 특성방정식 의 근에 따라 일반해의 형태가 정해진다(서로 다른 두 실근, 중근, 공액복소근)
2계 상수계수 비동차 선형방정식: 일반해 = 동차 일반해 + 특수해. 특수해는 자유항의 유형(、 )에 따라 미정계수 형태를 설정한다
핵심 정리
해의 구조 정리: 비동차방정식의 일반해는 대응하는 동차방정식의 일반해에 비동차방정식의 특수해 하나를 더한 것
중첩 원리: 자유항이 여러 항의 합일 때 특수해를 각각 구해 더할 수 있다
존재·유일성 정리: 연속성 조건을 만족하면 초기값 문제의 해는 존재하고 유일하다
급수
상수항 급수
개념: 의 부분합 수열의 극한이 존재하면 수렴, 그렇지 않으면 발산
수렴의 필요조건:(만족하지 않으면 발산)
등비급수:， 은 수렴, 은 발산
p-급수:， 은 수렴, 은 발산
핵심 판정법
양항급수의 비교판정법: 알려진 수렴/발산 급수와 비교한다(극한 형태 포함)
비판정법(달랑베르):， 이면 수렴, 이면 발산
근판정법(코시):, 판정 규칙은 비판정법과 같다
교대급수의 라이프니츠 판정법: 이 단조감소하고 0으로 수렴할 때 수렴한다
절대수렴과 조건수렴: 절대수렴하면 반드시 수렴하고, 조건수렴은 따로 판정한다
멱급수
개념:, 수렴구간은 수렴반지름 R을 중심으로 한다
수렴반지름 구하는 법:，(또는 근판정법으로 구한다)
수렴영역: 수렴구간을 바탕으로 끝점을 따로 검토한다
멱급수의 성질: 수렴구간 내에서 항별 미분, 항별 적분이 가능하며 수렴반지름은 변하지 않는다
함수 전개: 테일러 급수, 매클로린 급수, 상용 전개식(、、、、）
푸리에 급수
개념: 주기함수를 삼각급수로 전개하며, 계수는 적분 공식으로 정해진다
디리클레 수렴 정리: 조건을 만족하면 푸리에 급수는 함수에 수렴한다(불연속점에서는 좌우 극한의 평균값으로 수렴)
우함수·기함수의 푸리에 급수: 기함수는 사인 항만, 우함수는 코사인 항만
논평
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