Marco de conocimientos de cálculo
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Esquema/Contenido
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Límites
Conceptos clave
Límite de una sucesión: cuando n crece sin límite, la sucesión {aₙ} se aproxima a una constante A, se escribe
Límite de una función:(o ) los valores de la función se aproximan a una constante A, se escribe
Límites laterales izquierdo y derecho:、 se aproximan respectivamente por la izquierda y por la derecha
Infinitesimales e infinitos: una variable cuyo límite es 0 es un infinitesimal; aquella cuyo valor absoluto crece sin límite es un infinito
Comparación de infinitesimales: de orden superior, del mismo orden y equivalentes; la sustitución equivalente simplifica el cálculo
Teoremas clave
Condición necesaria y suficiente para que exista el límite: ambos límites laterales existen y son iguales (funciones); toda sucesión monótona y acotada tiene límite
Teorema del emparedado: si y entonces
Dos límites importantes:；
Reglas aritméticas: el límite de una suma, diferencia, producto o cociente es igual a la suma, diferencia, producto o cociente de los límites (límite del denominador ≠ 0)
Regla para funciones compuestas: la sustitución es válida si el límite interno existe y la función externa es continua
Continuidad y discontinuidad: una función es continua en un punto si y solo si; las discontinuidades se dividen en primera especie (evitable, de salto) y segunda especie (infinita, oscilante)
Propiedades de las funciones continuas en un intervalo cerrado: acotación, teorema de Weierstrass, teorema del valor intermedio, teorema de Bolzano
Puntos de repaso
Métodos habituales: sustitución directa, sustitución de infinitesimales equivalentes, regla de L'Hôpital, emparedado, monotonía y acotación, desarrollo de Taylor
Trampa: los infinitesimales equivalentes solo se sustituyen en productos/cocientes, no en sumas/diferencias
Derivadas
Conceptos clave
Definición:, es decir, la tasa de cambio instantánea en ese punto
Significado geométrico: de la curva en el punto — la pendiente de la tangente
Derivabilidad y continuidad: derivable implica continua, pero continua no implica derivable
Derivadas de orden superior: derivadas de segundo orden y superiores; indica la tasa de cambio de la tasa de cambio
Derivación de funciones implícitas y paramétricas: en las implícitas derivar ambos miembros respecto a x; en las paramétricas
Teoremas clave
Fórmulas básicas de derivación:、、、 etc.
Reglas aritméticas de derivación:、、
Derivación de funciones compuestas (regla de la cadena):
Derivada de la función inversa:
Aplicaciones
Criterio de monotonía: significa creciente, significa decreciente
Criterio de extremos: cambio de signo de la primera derivada, criterio de la segunda derivada ( da un máximo)
Búsqueda de extremos: comparar los valores en puntos estacionarios, puntos no derivables y extremos
Concavidad y puntos de inflexión: se determinan por el signo de
Asíntotas: cálculo de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas
Regla de L'Hôpital: y formas indeterminadas
Diferenciales
Conceptos clave
Definición:, entonces , el diferencial es la parte principal lineal del incremento
Diferenciabilidad y derivabilidad: en funciones de una variable son equivalentes
Significado geométrico del diferencial: el incremento de la ordenada de la tangente
Teoremas y reglas clave
Invariancia de la forma diferencial: tanto si u es variable independiente como intermedia, se cumple
Reglas aritméticas de los diferenciales:、、
La invariancia de la forma diferencial de primer orden se usa en cálculo aproximado y sustitución en integrales
Aplicaciones
Cálculo aproximado:
Estimación del error: estimar el error del valor de la función a partir del error de la variable
Relación con la derivada: la derivada es el cociente diferencial , mientras el diferencial se centra en la aproximación lineal del incremento
Integrales
Integrales indefinidas
Concepto:, entonces , la operación inversa de la derivación
Fórmulas básicas de integración: tablas de potencias, exponenciales, trigonométricas e inversas
Integración por sustitución: primer tipo (ajuste del diferencial), segundo tipo (cambio de variable, incl. trigonométrico)
Integración por partes:, adecuada para integrandos en forma de producto
Integración de funciones racionales: descomposición en fracciones simples e integración término a término
Integrales definidas
Concepto: el límite de las sumas de Riemann
Significado geométrico: el área algebraica del trapecio curvilíneo
Fórmula de Newton-Leibniz:, que convierte el cálculo de una integral definida en la evaluación de una primitiva
Propiedades de la integral definida: linealidad, aditividad por intervalos, conservación del signo, teorema de estimación, teorema del valor medio
Integral con límite superior variable:，
Teoremas y métodos clave
Teorema del valor medio integral:，
Teorema fundamental del cálculo: la derivada de la integral con límite variable es el integrando, base de la fórmula de Newton-Leibniz
Sustitución e integración por partes: cambiar también los límites con la variable
Aplicaciones
Área: área de figuras planas (cartesianas, polares)
Volumen: sólidos de revolución (método de discos, de capas)
Longitud de arco, área de superficies de revolución
Aplicaciones físicas: trabajo de una fuerza variable, presión de fluidos, centro de masas
Ecuaciones diferenciales
Conceptos clave
Definición: ecuación que contiene una función incógnita y sus derivadas; el orden es el de la derivada más alta
Solución general y particular: la general contiene tantas constantes arbitrarias independientes como el orden; las condiciones iniciales determinan la particular
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones de variables separables:, separar e integrar ambos miembros
Ecuaciones homogéneas:, haciendo la reduce a una ecuación de variables separables
Ecuaciones lineales de primer orden:, solución general
Ecuaciones de Bernoulli:, haciendo la transforma en una ecuación lineal de primer orden
Ecuaciones diferenciales exactas: y existe una primitiva
Ecuaciones diferenciales de orden superior
Tipos reducibles: integrar sucesivamente; haciendo ； para , tomando y como variable independiente
Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes:, la ecuación característica tiene raíces que determinan la forma de la solución general (dos raíces reales distintas, raíz doble, raíces complejas conjugadas)
Ecuaciones no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes: solución general = homogénea + particular; la forma de la particular depende del término libre (、 ) para plantear la forma con coeficientes indeterminados
Teoremas clave
Teorema de estructura: la solución general de una ecuación no homogénea es la de la homogénea asociada más una solución particular
Principio de superposición: si el término libre es una suma de varios términos, se resuelven las soluciones particulares por separado y se suman
Teorema de existencia y unicidad: bajo condiciones de continuidad, el problema de valor inicial tiene solución única
Series
Series de términos constantes
Concepto: converge si la sucesión de sumas parciales tiene límite; en caso contrario, diverge
Condición necesaria de convergencia:(si no, diverge)
Serie geométrica:， converge, diverge
Serie p:， converge, diverge
Criterios de convergencia clave
Criterio de comparación: comparar con una serie conocida convergente/divergente (incluida la forma de límite)
Criterio del cociente (d'Alembert):， implica convergencia, implica divergencia
Criterio de la raíz (Cauchy):, con la misma regla de decisión que el criterio del cociente
Criterio de Leibniz para series alternadas: converge cuando decrece monótonamente hacia 0
Convergencia absoluta y condicional: la absoluta implica convergencia; la condicional se prueba aparte
Series de potencias
Concepto:, el intervalo de convergencia está centrado en el radio de convergencia R
Cálculo del radio de convergencia:，(o mediante el criterio de la raíz)
Dominio de convergencia: comprobar los extremos por separado además del intervalo
Propiedades de las series de potencias: derivación e integración término a término en el intervalo, radio invariable
Desarrollos: series de Taylor, de Maclaurin, desarrollos usuales (、、、、）
Series de Fourier
Concepto: desarrollar una función periódica en serie trigonométrica, con coeficientes dados por fórmulas integrales
Teorema de Dirichlet: bajo las condiciones, la serie de Fourier converge a la función (en las discontinuidades, a la media de los límites laterales)
Series de Fourier de funciones pares/impares: las impares solo términos en seno, las pares solo términos en coseno
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