高等數學知識框架体中文
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極限
核心概念
數列極限：當 n 無限增大時，數列 {aₙ} 無限接近常數 A，記
函式極限：（或 ）時函式值無限接近常數 A，記
左極限與右極限：、 分別從左右兩側逼近
無窮小與無窮大：極限為 0 的變數為無窮小，絕對值無限增大的變數為無窮大
無窮小的比較：高階、同階、等價無窮小，等價替換簡化計算
核心定理
極限存在的充要條件：左極限與右極限都存在且相等（函式極限）；單調有界數列必有極限
夾逼定理：若 且 ，則
兩個重要極限：；
四則運演算法則：加減乘除的極限等於極限的加減乘除（分母極限不為 0）
複合函式極限法則：內層極限存在且外層函式連續時可代入
連續與間斷：函式在點連續等價於 ；間斷點分第一類（可去、跳躍）與第二類（無窮、振盪）
閉區間連續函式性質：有界性、最值定理、介值定理、零點定理
複習要點
求極限常用方法：直接代入、等價無窮小替換、洛必達法則、夾逼、單調有界、泰勒展開
易錯：等價無窮小只能在乘除中替換，加減中慎用
導數
核心概念
定義：，即函式在該點的瞬時變化率
幾何意義：曲線在點 處切線的斜率
可導與連續：可導必連續，連續不一定可導
高階導數：二階及以上導數， 表示變化率的變化率
隱函式與引數方程求導：隱函式兩邊對 x 求導；引數方程
核心定理
基本求導公式：、、、 等
四則求導法則：、、
複合函式求導（鏈式法則）：
反函式求導：
應用
單調性判定： 遞增， 遞減
極值判定：一階導數變號法、二階導數法（ 為極大值）
最值求法：比較區間內駐點、不可導點與端點函式值
凹凸性與拐點：由 的符號判定
漸近線：水平、垂直、斜漸近線的求法
洛必達法則： 與 型未定式求極限
微分
核心概念
定義： 時，，微分是函式增量的線性主部
可微與可導：一元函式可微與可導等價
微分的幾何意義：切線縱座標的增量
核心定理與法則
微分形式不變性：無論 u 是自變數還是中間變數， 均成立
微分四則法則：、、
一階微分形式不變性用於近似計算與積分換元
應用
近似計算：
誤差估計：由自變數誤差估計函式值誤差
與導數的關係：導數是微商 ，微分側重增量線性近似
積分
不定積分
概念： 時，，是求導的逆運算
基本積分公式：冪函式、指數、三角、反三角等基本積分表
換元積分法：第一類（湊微分）、第二類（變數代換，含三角代換）
分部積分法：，適用於乘積型被積函式
有理函式積分：部分分式分解後逐項積分
定積分
概念：黎曼和的極限
幾何意義：曲邊梯形的代數面積
牛頓-萊布尼茨公式：，把定積分計算轉化為原函式求值
定積分性質：線性性、區間可加性、保號性、估值定理、積分中值定理
變上限積分函式：，
核心定理與方法
積分中值定理：，
微積分基本定理：變上限積分函式的導數等於被積函式，是牛頓-萊布尼茨公式的基礎
定積分換元與分部：換元需同步更換上下限
應用
面積：平面圖形面積（直角座標、極座標）
體積：旋轉體體積（圓盤法、殼層法）
弧長、旋轉曲面面積
物理應用：變力做功、液體壓力、質心
微分方程
核心概念
定義：含未知函式及其導數的方程，階指數最高階導數的階數
通解與特解：通解含與階數相同個數的獨立任意常數；由初始條件確定特解
一階微分方程
可分離變數方程：，分離後兩邊積分
齊次方程：，令 化為可分離變數
一階線性方程：，通解
伯努利方程：，令 化為一階線性
全微分方程： 且 時存在原函式
高階微分方程
可降階型別： 逐次積分； 令 ； 令 並以 y 為自變數
二階常係數齊次線性方程：，由特徵方程 的根確定通解形式（兩不等實根、重根、共軛復根）
二階常係數非齊次線性方程：通解 = 齊次通解 + 特解，特解按自由項型別（、）設待定形式
核心定理
解的結構定理：非齊次方程通解等於對應齊次方程通解加非齊次方程一個特解
疊加原理：自由項為若干項之和時，特解可分別求解後相加
存在唯一性定理：滿足連續性條件時初值問題解存在且唯一
級數
常數項級數
概念： 的部分和數列極限存在則收斂，否則發散
收斂的必要條件：（不滿足則發散）
幾何級數：， 收斂， 發散
p 級數：， 收斂， 發散
核心判別法
正項級數比較判別法：與已知收斂/發散級數比較（含極限形式）
比值判別法（達朗貝爾）：， 收斂， 發散
根值判別法（柯西）：，判定規則同比值法
交錯級數萊布尼茨判別法： 單調遞減且趨於 0 時收斂
絕對收斂與條件收斂：絕對收斂必收斂；條件收斂需另判
冪級數
概念：，收斂區間以收斂半徑 R 為中心
收斂半徑求法：，（或由根值法求得）
收斂域：在收斂區間基礎上單獨檢驗端點
冪級數性質：在收斂區間內可逐項求導、逐項積分，收斂半徑不變
函式展開：泰勒級數、麥克勞林級數，常用展開式（、、、、）
傅立葉級數
概念：週期函式展開為三角級數，係數由積分公式確定
狄利克雷收斂定理：滿足條件時傅立葉級數收斂於函式（間斷點處收斂於左右極限的平均值）
奇偶函式的傅立葉級數：奇函式只有正弦項，偶函式只有餘弦項
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