Quadro di conoscenze di analisi matematica
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Quadro di conoscenze di analisi matematica
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Limiti
Concetti chiave
Limite di una successione: quando n cresce illimitatamente, la successione {aₙ} si avvicina alla costante A, scritto
Limite di una funzione:(o ) i valori della funzione si avvicinano alla costante A, scritto
Limiti da sinistra e da destra:、 si avvicinano rispettivamente da sinistra e da destra
Infinitesimi e infiniti: una variabile con limite 0 è un infinitesimo; quella il cui valore assoluto cresce illimitatamente è un infinito
Confronto tra infinitesimi: di ordine superiore, dello stesso ordine, equivalenti; la sostituzione equivalente semplifica i calcoli
Teoremi chiave
Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite: entrambi i limiti laterali esistono e coincidono (funzioni); una successione monotona e limitata ha sempre limite
Teorema del confronto: se e allora
Due limiti notevoli:；
Regole aritmetiche: il limite di somma, differenza, prodotto o quoziente è uguale alla somma, differenza, prodotto o quoziente dei limiti (limite del denominatore ≠ 0)
Regola per le funzioni composte: la sostituzione è valida se il limite interno esiste e la funzione esterna è continua
Continuità e discontinuità: una funzione è continua in un punto se e solo se; i punti di discontinuità si dividono in prima specie (eliminabile, salto) e seconda specie (infinita, oscillante)
Proprietà delle funzioni continue su un intervallo chiuso: limitatezza, teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi, teorema degli zeri
Punti di ripasso
Metodi comuni: sostituzione diretta, sostituzione di infinitesimi equivalenti, regola di L'Hôpital, confronto, monotonia e limitatezza, sviluppo di Taylor
Insidia: gli infinitesimi equivalenti si sostituiscono solo in prodotti/quozienti, non in somme/differenze
Derivate
Concetti chiave
Definizione:, cioè il tasso di variazione istantaneo in quel punto
Significato geometrico: della curva nel punto — la pendenza della tangente
Derivabilità e continuità: derivabile implica continua, ma continua non implica derivabile
Derivate di ordine superiore: derivate di ordine secondo e superiore; indica il tasso di variazione del tasso di variazione
Derivazione di funzioni implicite e parametriche: per le implicite derivare entrambi i membri rispetto a x; per le parametriche
Teoremi chiave
Formule di derivazione di base:、、、 ecc.
Regole di derivazione aritmetiche:、、
Derivazione di funzioni composte (regola della catena):
Derivata della funzione inversa:
Applicazioni
Test di monotonia: significa crescente, significa decrescente
Test degli estremi: cambio di segno della derivata prima, test della derivata seconda ( dà un massimo)
Ricerca di estremi: confrontare i valori nei punti stazionari, nei punti non derivabili e agli estremi
Concavità e flessi: sono determinati dal segno di
Asintoti: ricerca di asintoti orizzontali, verticali e obliqui
Regola di L'Hôpital: e forme indeterminate
Differenziali
Concetti chiave
Definizione:, allora , il differenziale è la parte principale lineare dell'incremento
Differenziabilità e derivabilità: per funzioni di una variabile sono equivalenti
Significato geometrico del differenziale: l'incremento dell'ordinata della tangente
Teoremi e regole chiave
Invarianza della forma differenziale: che u sia variabile indipendente o intermedia, vale
Regole aritmetiche dei differenziali:、、
L'invarianza della forma differenziale del primo ordine serve al calcolo approssimato e alla sostituzione negli integrali
Applicazioni
Calcolo approssimato:
Stima dell'errore: stimare l'errore del valore della funzione dall'errore della variabile
Rapporto con la derivata: la derivata è il quoziente differenziale , mentre il differenziale privilegia l'approssimazione lineare dell'incremento
Integrali
Integrali indefiniti
Concetto:, allora , l'operazione inversa della derivazione
Formule di integrazione di base: tabelle per potenze, esponenziali, trigonometriche e inverse
Integrazione per sostituzione: primo tipo (aggiustamento del differenziale), secondo tipo (cambio di variabile, incl. trigonometrico)
Integrazione per parti:, adatta a integrande sotto forma di prodotto
Integrazione di funzioni razionali: decomposizione in fratti semplici poi integrazione termine a termine
Integrali definiti
Significato geometrico: l'area algebrica del trapezio curvilineo
Formula di Newton-Leibniz:, che riduce il calcolo di un integrale definito alla valutazione di una primitiva
Proprietà dell'integrale definito: linearità, additività rispetto agli intervalli, conservazione del segno, teorema di stima, teorema della media
Integrale con estremo superiore variabile:，
Teoremi e metodi chiave
Teorema della media integrale:，
Teorema fondamentale del calcolo: la derivata dell'integrale a estremo variabile è l'integranda, base della formula di Newton-Leibniz
Sostituzione e integrazione per parti: cambiare anche gli estremi con la variabile
Applicazioni
Area: area di figure piane (cartesiane, polari)
Volume: solidi di rotazione (metodo dei dischi, dei gusci)
Lunghezza d'arco, area di superfici di rotazione
Applicazioni fisiche: lavoro di una forza variabile, pressione dei fluidi, baricentro
Equazioni differenziali
Concetti chiave
Definizione: equazione contenente una funzione incognita e le sue derivate; l'ordine è quello della derivata più alta
Soluzione generale e particolare: la generale contiene tante costanti arbitrarie indipendenti quanto l'ordine; le condizioni iniziali determinano la particolare
Equazioni differenziali del primo ordine
Equazioni a variabili separabili:, separare e integrare entrambi i membri
Equazioni omogenee:, ponendo la riduce a un'equazione a variabili separabili
Equazioni lineari del primo ordine:, soluzione generale
Equazioni di Bernoulli:, ponendo la trasforma in un'equazione lineare del primo ordine
Equazioni differenziali esatte: e esiste una primitiva
Equazioni differenziali di ordine superiore
Tipi riducibili: integrare successivamente; ponendo ； per , prendendo y come variabile indipendente
Equazioni lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti:, l'equazione caratteristica ha radici che determinano la forma della soluzione generale (due radici reali distinte, radice doppia, radici complesse coniugate)
Equazioni non omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti: soluzione generale = omogenea + particolare; la forma della particolare dipende dal termine noto (、 ) per impostare la forma a coefficienti indeterminati
Teoremi chiave
Teorema di struttura: la soluzione generale di un'equazione non omogenea è quella dell'omogenea associata più una soluzione particolare
Principio di sovrapposizione: se il termine noto è una somma di più termini, si determinano le singole soluzioni particolari e si sommano
Teorema di esistenza e unicità: sotto condizioni di continuità il problema di Cauchy ha soluzione unica
Serie
Serie a termini costanti
Concetto: converge se la successione delle somme parziali ha limite, altrimenti diverge
Condizione necessaria di convergenza:(altrimenti diverge)
Serie geometrica:， converge, diverge
Serie armonica generalizzata:， converge, diverge
Criteri di convergenza chiave
Criterio del confronto: confronto con una serie nota convergente/divergente (anche in forma di limite)
Criterio del rapporto (d'Alembert):， significa convergenza, significa divergenza
Criterio della radice (Cauchy):, stessa regola di decisione del criterio del rapporto
Criterio di Leibniz per le serie alternate: converge se decresce monotonicamente a 0
Convergenza assoluta e condizionata: l'assoluta implica la convergenza; la condizionata va verificata a parte
Serie di potenze
Concetto:, l'intervallo di convergenza è centrato sul raggio di convergenza R
Calcolo del raggio di convergenza:，(o ottenuto con il criterio della radice)
Dominio di convergenza: verificare separatamente gli estremi oltre all'intervallo
Proprietà delle serie di potenze: derivazione e integrazione termine a termine nell'intervallo, raggio invariato
Sviluppi di funzioni: serie di Taylor, di Maclaurin, sviluppi usuali (、、、、）
Serie di Fourier
Concetto: sviluppare una funzione periodica in serie trigonometrica, con coefficienti dati da formule integrali
Teorema di Dirichlet: sotto le condizioni, la serie di Fourier converge alla funzione (nei punti di discontinuità alla media dei limiti laterali)
Serie di Fourier di funzioni pari/dispari: le dispari solo termini in seno, le pari solo termini in coseno
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