Cadre de connaissances en mathématiques supérieures
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Cadre de connaissances en mathématiques supérieures
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Limites
Concepts clés
Limite d'une suite : quand n tend vers l'infini, la suite {aₙ} s'approche d'une constante A, noté
Limite d'une fonction :(ou ) les valeurs de la fonction s'approchent d'une constante A, noté
Limites à gauche et à droite :、 approchent respectivement par la gauche et par la droite
Infiniment petits et infiniment grands : une variable de limite 0 est un infiniment petit ; celle dont la valeur absolue croît sans limite est un infiniment grand
Comparaison des infiniment petits : d'ordre supérieur, de même ordre, équivalents ; la substitution équivalente simplifie les calculs
Théorèmes clés
Condition nécessaire et suffisante d'existence d'une limite : les deux limites latérales existent et sont égales (fonctions) ; une suite monotone bornée a toujours une limite
Théorème des gendarmes : si et alors
Deux limites remarquables :；
Règles arithmétiques : la limite d'une somme, différence, produit ou quotient est égale à la somme, différence, produit ou quotient des limites (limite du dénominateur ≠ 0)
Règle des limites composées : la substitution est valable si la limite intérieure existe et la fonction extérieure est continue
Continuité et discontinuité : une fonction est continue en un point ssi ; les points de discontinuité se divisent en première espèce (effaçable, saut) et seconde espèce (infinie, oscillante)
Propriétés des fonctions continues sur un segment : bornitude, théorème des bornes atteintes, théorème des valeurs intermédiaires, théorème du zéro
Points de révision
Méthodes courantes : substitution directe, substitution d'infiniment petits équivalents, règle de L'Hôpital, encadrement, monotonie et bornitude, développement de Taylor
Piège : les infiniment petits équivalents ne se substituent que dans les produits/quotients, rarement dans les sommes/différences
Dérivées
Concepts clés
Définition :, c'est-à-dire le taux de variation instantané en ce point
Sens géométrique : de la courbe au point — la pente de la tangente
Dérivabilité et continuité : dérivable implique continue, mais continu n'implique pas dérivable
Dérivées d'ordre supérieur : dérivées d'ordre deux et plus ; désigne le taux de variation du taux de variation
Dérivation des fonctions implicites et paramétriques : dériver les deux membres par rapport à x ; pour les équations paramétriques
Théorèmes clés
Formules de dérivation de base :、、、 etc.
Règles de dérivation arithmétiques :、、
Dérivation des fonctions composées (règle de la chaîne) :
Dérivée d'une fonction réciproque :
Applications
Test de monotonie : signifie croissante, signifie décroissante
Test d'extremum : changement de signe de la dérivée première, test de la dérivée seconde ( donne un maximum)
Recherche des extremums : comparer les valeurs aux points stationnaires, aux points non dérivables et aux bornes
Concavité et points d'inflexion : sont déterminés par le signe de
Asymptotes : recherche des asymptotes horizontales, verticales et obliques
Règle de L'Hôpital : et de type indéterminé
Différentielles
Concepts clés
Définition :, alors , la différentielle est la partie principale linéaire de l'accroissement
Différentiabilité et dérivabilité : pour une fonction d'une variable, les deux sont équivalentes
Sens géométrique de la différentielle : l'accroissement de l'ordonnée de la tangente
Théorèmes et règles clés
Invariance de la forme différentielle : que u soit variable indépendante ou intermédiaire, est valable
Règles arithmétiques des différentielles :、、
L'invariance de la forme différentielle du premier ordre sert au calcul approché et au changement de variable
Applications
Calcul approché :
Estimation d'erreur : estimer l'erreur sur la valeur à partir de l'erreur sur la variable
Relation avec la dérivée : la dérivée est le quotient différentiel , tandis que la différentielle privilégie l'approximation linéaire de l'accroissement
Intégrales
Intégrales indéfinies
Concept :, alors , l'opération inverse de la dérivation
Formules d'intégration de base : tables pour puissances, exponentielles, trigonométriques et trigonométriques inverses
Intégration par substitution : première espèce (ajustement de la différentielle), seconde espèce (changement de variable, y compris trigonométrique)
Intégration par parties :, adaptée aux intégrandes sous forme de produit
Intégration des fractions rationnelles : décomposition en éléments simples puis intégration terme à terme
Intégrales définies
Concept : la limite des sommes de Riemann
Sens géométrique : l'aire algébrique du trapèze curviligne
Formule de Newton-Leibniz :, qui ramène le calcul d'une intégrale définie à l'évaluation d'une primitive
Propriétés de l'intégrale définie : linéarité, additivité par rapport aux intervalles, conservation du signe, théorème d'estimation, théorème de la moyenne
Intégrale à borne supérieure variable :，
Théorèmes et méthodes clés
Théorème de la moyenne :，
Théorème fondamental : la dérivée de l'intégrale à borne variable est l'intégrande, ce qui fonde la formule de Newton-Leibniz
Substitution et intégration par parties : changer aussi les bornes avec la variable
Applications
Aire : aire de figures planes (coordonnées cartésiennes, polaires)
Volume : volume de solides de révolution (méthode des disques, des coques)
Longueur d'arc, aire d'une surface de révolution
Applications physiques : travail d'une force variable, pression des fluides, centre de masse
Équations différentielles
Concepts clés
Définition : équation contenant une fonction inconnue et ses dérivées ; l'ordre est celui de la dérivée la plus élevée
Solution générale et particulière : la solution générale contient autant de constantes arbitraires indépendantes que l'ordre ; les conditions initiales fixent la solution particulière
Équations différentielles du premier ordre
Équations à variables séparables :, séparer puis intégrer les deux membres
Équations homogènes :, poser la ramène à une équation à variables séparables
Équations linéaires du premier ordre :, solution générale
Équations de Bernoulli :, poser la transforme en équation linéaire du premier ordre
Équations différentielles exactes : et une primitive existe
Équations différentielles d'ordre supérieur
Types réductibles : intégrer successivement ; poser ； pour , en prenant y comme variable indépendante
Équations linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants :, l'équation caractéristique a des racines qui déterminent la forme de la solution générale (deux racines réelles distinctes, racine double, racines complexes conjuguées)
Équations non homogènes du second ordre à coefficients constants : solution générale = solution homogène + solution particulière ; la forme de la particulière dépend du second membre (、 ) pour poser la forme à coefficients indéterminés
Théorèmes clés
Théorème de structure : la solution générale d'une équation non homogène est la solution générale de l'équation homogène associée plus une solution particulière
Principe de superposition : si le second membre est une somme de termes, on résout chaque solution particulière puis on les additionne
Théorème d'existence et d'unicité : sous conditions de continuité, le problème de Cauchy admet une solution unique
Séries
Séries à termes constants
Concept : converge si la suite des sommes partielles a une limite, sinon diverge
Condition nécessaire de convergence :(sinon divergence)
Série géométrique :， converge, diverge
Série de Riemann :， converge, diverge
Critères de convergence clés
Critère de comparaison : comparer à une série connue convergente/divergente (forme limite incluse)
Critère du rapport (d'Alembert) :， signifie convergence, signifie divergence
Critère de la racine (Cauchy) :, même règle de décision que le critère du rapport
Critère de Leibniz pour les séries alternées : converge lorsqu'elle décroît monotonement vers 0
Convergence absolue et conditionnelle : l'absolue implique la convergence ; la conditionnelle se teste à part
Séries entières
Concept :, l'intervalle de convergence est centré sur le rayon de convergence R
Calcul du rayon de convergence :，(ou obtenu par le critère de la racine)
Domaine de convergence : vérifier séparément les bornes au-delà de l'intervalle
Propriétés des séries entières : dérivation et intégration terme à terme dans l'intervalle, rayon inchangé
Développements : séries de Taylor, de Maclaurin, développements usuels (、、、、）
Séries de Fourier
Concept : développer une fonction périodique en série trigonométrique, coefficients donnés par des formules intégrales
Théorème de Dirichlet : sous conditions, la série de Fourier converge vers la fonction (aux discontinuités, vers la moyenne des limites latérales)
Séries de Fourier des fonctions paires/impaire : une fonction impaire n'a que des termes en sinus, une fonction paire que des termes en cosinus
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