Titelseite  Mindmaps  Details



 



Wissensrahmen Höhere Mathematik

2026-10-29   0  Bericht



Expandieren

Verwandte Empfehlungen

Weitere Werke des Autors

Gliederung/Inhalt

Mehr anzeigen

Grenzwerte

Kernbegriffe

Grenzwert einer Folge: Wenn n unbegrenzt wächst, nähert sich die Folge {aₙ} der Konstante A, geschrieben

Grenzwert einer Funktion:(oder ) die Funktionswerte sich der Konstante A nähern, geschrieben

Links- und rechtsseitiger Grenzwert:、 nähern sich jeweils von links und rechts

Unendlich klein und unendlich groß: Eine Variable mit Grenzwert 0 ist unendlich klein; eine, deren Betrag unbegrenzt wächst, unendlich groß

Vergleich von Unendlichkleinen: höherer Ordnung, gleicher Ordnung, äquivalent; äquivalente Substitution vereinfacht die Rechnung

Kerntheoreme

Notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz eines Grenzwerts: beide einseitigen Grenzwerte existieren und sind gleich (Funktionen); eine monotone beschränkte Folge hat stets einen Grenzwert

Einschnürungssatz: Wenn und dann

Zwei wichtige Grenzwerte:；

Rechenregeln: Der Grenzwert von Summe, Differenz, Produkt oder Quotient ist gleich Summe, Differenz, Produkt oder Quotient der Grenzwerte (Nennergrenzwert ≠ 0)

Grenzwertregel für verkettete Funktionen: Einsetzen ist zulässig, wenn der innere Grenzwert existiert und die äußere Funktion stetig ist

Stetigkeit und Unstetigkeit: Eine Funktion ist an einer Stelle stetig genau dann, wenn; Unstetigkeitsstellen teilen sich in erste Art (hebbar, Sprung) und zweite Art (unendlich, oszillierend)

Eigenschaften stetiger Funktionen auf einem abgeschlossenen Intervall: Beschränktheit, Extremwertsatz, Zwischenwertsatz, Nullstellensatz

Wiederholungsschwerpunkte

Übliche Methoden: direktes Einsetzen, äquivalente Unendlichklein-Substitution, Regel von L'Hôpital, Einschnürung, Monotonie und Beschränktheit, Taylor-Entwicklung

Fallstrick: äquivalente Unendlichkleine nur in Produkten/Quotienten ersetzen, nicht in Summen/Differenzen

Ableitungen

Kernbegriffe

Definition:, also die momentane Änderungsrate an dieser Stelle

Geometrische Bedeutung: der Kurve im Punkt — die Steigung der Tangente

Differenzierbarkeit und Stetigkeit: differenzierbar ⇒ stetig, stetig ⇏ differenzierbar

Höhere Ableitungen: Ableitungen zweiter und höherer Ordnung; bezeichnet die Änderungsrate der Änderungsrate

Ableiten impliziter und parametrischer Funktionen: bei impliziten Funktionen beide Seiten nach x ableiten; bei Parameterdarstellung

Kerntheoreme

Grundableitungsformeln:、、、 usw.

Ableitungsregeln für Grundrechenarten:、、

Verkettete Funktionen (Kettenregel):

Ableitung der Umkehrfunktion:

Anwendungen

Monotonieprüfung: bedeutet steigend, bedeutet fallend

Extremwertprüfung: Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung, Zweitableitungstest ( ergibt ein Maximum)

Extremwerte finden: Funktionswerte an stationären Stellen, nicht differenzierbaren Stellen und Randpunkten vergleichen

Krümmung und Wendepunkte: werden durch das Vorzeichen von bestimmt

Asymptoten: Bestimmung horizontaler, vertikaler und schräger Asymptoten

Regel von L'Hôpital: und unbestimmter Form

Differentiale

Kernbegriffe

Definition:, dann , das Differential ist der lineare Hauptteil des Zuwachses

Differenzierbarkeit: Bei Funktionen einer Variablen sind Differenzierbarkeit und Existenz der Ableitung äquivalent

Geometrische Bedeutung des Differentials: der Zuwachs der Tangentenordinate

Kerntheoreme und Regeln

Invarianz der Differentialform: Ob u unabhängige oder Zwischenvariable ist, gilt

Rechenregeln für Differentiale:、、

Die Invarianz der Differentialform erster Ordnung dient der Näherungsrechnung und der Substitution in Integralen

Anwendungen

Näherungsrechnung:

Fehlerabschätzung: Fehler des Funktionswerts aus dem Fehler der Variablen schätzen

Verhältnis zur Ableitung: Die Ableitung ist der Differenzenquotient , während das Differential die lineare Näherung des Zuwachses betont

Integrale

Unbestimmte Integrale

Begriff:, dann , die Umkehrung der Differentiation

Grundintegralformeln: Tabellen für Potenz-, Exponential-, trigonometrische und Arkusfunktionen

Substitutionsregel: erste Art (Differential anpassen), zweite Art (Variablensubstitution, inkl. trigonometrisch)

Partielle Integration:, geeignet für Produkt-Integranden

Integration rationaler Funktionen: Partialbruchzerlegung, dann gliedweise integrieren

Bestimmte Integrale

Begriff: der Grenzwert der Riemann-Summen

Geometrische Bedeutung: der orientierte Flächeninhalt des krummlinigen Trapezes

Newton-Leibniz-Formel:, die die Berechnung eines bestimmten Integrals auf die Auswertung einer Stammfunktion zurückführt

Eigenschaften des bestimmten Integrals: Linearität, Additivität über Intervalle, Vorzeichenerhaltung, Abschätzungssatz, Mittelwertsatz der Integralrechnung

Integral mit variabler Obergrenze:，

Kerntheoreme und Methoden

Mittelwertsatz der Integralrechnung:，

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Die Ableitung des Integrals mit variabler Obergrenze ist der Integrand — Grundlage der Newton-Leibniz-Formel

Substitution und partielle Integration: Grenzen mit der Variablen ändern

Anwendungen

Fläche: Flächeninhalt ebener Figuren (kartesisch, polar)

Volumen: Rotationskörper (Scheibenmethode, Schalenmethode)

Bogenlänge, Fläche von Rotationsflächen

Physikalische Anwendungen: Arbeit einer veränderlichen Kraft, Flüssigkeitsdruck, Schwerpunkt

Differentialgleichungen

Kernbegriffe

Definition: eine Gleichung mit einer unbekannten Funktion und ihren Ableitungen; die Ordnung ist die der höchsten Ableitung

Allgemeine und partikuläre Lösung: Die allgemeine Lösung enthält so viele unabhängige Konstanten wie die Ordnung; Anfangsbedingungen bestimmen die partikuläre Lösung

Differentialgleichungen erster Ordnung

Trennbare Gleichungen:, trennen und beide Seiten integrieren

Homogene Gleichungen:, setze führt auf eine trennbare Gleichung

Lineare Gleichungen erster Ordnung:, allgemeine Lösung

Bernoulli-Gleichungen:, setze macht daraus eine lineare Gleichung erster Ordnung

Exakte Differentialgleichungen: und existiert eine Stammfunktion

Differentialgleichungen höherer Ordnung

Reduzierbare Typen: sukzessive integrieren; setze ； bei , wobei y die unabhängige Variable ist

Homogene lineare Gleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten:, die charakteristische Gleichung hat Wurzeln, die die Form der allgemeinen Lösung bestimmen (zwei verschiedene reelle Wurzeln, Doppelwurzel, konjugiert komplexe Wurzeln)

Inhomogene lineare Gleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten: allgemeine Lösung = homogene Lösung + partikuläre Lösung; Ansatz nach Typ des Störglieds (、 ) ansetzen (unbestimmte Koeffizienten)

Kerntheoreme

Struktursatz: Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung ist die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung plus einer partikulären Lösung

Superpositionsprinzip: Ist das Störglied eine Summe mehrerer Terme, lassen sich die partikulären Lösungen einzeln bestimmen und addieren

Existenz- und Eindeutigkeitssatz: Unter Stetigkeitsbedingungen hat das Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung

Reihen

Reihen mit konstanten Gliedern

Begriff: konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen einen Grenzwert hat, sonst divergent

Notwendige Bedingung für Konvergenz:(sonst divergent)

Geometrische Reihe:， konvergiert, divergiert

p-Reihe:， konvergiert, divergiert

Zentrale Konvergenzkriterien

Vergleichskriterium: Vergleich mit einer bekannten konvergenten/divergenten Reihe (auch Grenzwertform)

Quotientenkriterium (d'Alembert):， bedeutet Konvergenz, bedeutet Divergenz

Wurzelkriterium (Cauchy):, gleiche Entscheidungsregel wie beim Quotientenkriterium

Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen: konvergiert, wenn sie monoton gegen 0 fällt

Absolute und bedingte Konvergenz: absolute Konvergenz impliziert Konvergenz; bedingte Konvergenz ist separat zu prüfen

Potenzreihen

Begriff:, das Konvergenzintervall ist um den Konvergenzradius R zentriert

Bestimmung des Konvergenzradius:，(oder über das Wurzelkriterium)

Konvergenzbereich: Endpunkte zusätzlich zum Intervall einzeln prüfen

Eigenschaften von Potenzreihen: gliedweise Differentiation und Integration im Intervall, Radius unverändert

Funktionsentwicklung: Taylor- und Maclaurin-Reihe, übliche Entwicklungen (、、、、）

Fourierreihen

Begriff: Eine periodische Funktion wird in eine trigonometrische Reihe entwickelt, die Koeffizienten liefern Integralformeln

Satz von Dirichlet: Unter den Bedingungen konvergiert die Fourierreihe gegen die Funktion (an Unstetigkeiten gegen den Mittelwert der einseitigen Grenzwerte)

Fourierreihen gerader/ungerader Funktionen: ungerade Funktionen nur Sinusglieder, gerade nur Kosinusglieder