Quadro de conhecimentos de cálculo
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Quadro de conhecimentos de cálculo
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Limites
Conceitos-chave
Limite de uma sucessão: quando n cresce indefinidamente, a sucessão {aₙ} aproxima-se de uma constante A, escreve-se
Limite de uma função:(ou ) os valores da função aproximam-se de uma constante A, escreve-se
Limites laterais esquerdo e direito:、 aproximam-se respetivamente pela esquerda e pela direita
Infinitesimais e infinitos: uma variável cujo limite é 0 é um infinitesimal; aquela cujo valor absoluto cresce indefinidamente é um infinito
Comparação de infinitesimais: de ordem superior, da mesma ordem e equivalentes; a substituição equivalente simplifica o cálculo
Teoremas-chave
Condição necessária e suficiente para a existência do limite: ambos os limites laterais existem e são iguais (funções); uma sucessão monótona e limitada tem sempre limite
Teorema do confronto: se e então
Dois limites importantes:；
Regras aritméticas: o limite de uma soma, diferença, produto ou quociente é igual à soma, diferença, produto ou quociente dos limites (limite do denominador ≠ 0)
Regra para funções compostas: a substituição é válida se o limite interno existir e a função externa for contínua
Continuidade e descontinuidade: uma função é contínua num ponto se e só se; as descontinuidades dividem-se em primeira espécie (removível, de salto) e segunda espécie (infinita, oscilante)
Propriedades das funções contínuas num intervalo fechado: limitação, teorema de Weierstrass, teorema do valor intermédio, teorema de Bolzano
Pontos de revisão
Métodos habituais: substituição direta, substituição de infinitesimais equivalentes, regra de L'Hôpital, confronto, monotonia e limitação, desenvolvimento de Taylor
Armadilha: os infinitesimais equivalentes só se substituem em produtos/quocientes, não em somas/diferenças
Derivadas
Conceitos-chave
Definição:, ou seja, a taxa de variação instantânea nesse ponto
Significado geométrico: da curva no ponto — o declive da tangente
Diferenciabilidade e continuidade: diferenciável implica contínua, mas contínua não implica diferenciável
Derivadas de ordem superior: derivadas de segunda ordem e superiores; indica a taxa de variação da taxa de variação
Derivação de funções implícitas e paramétricas: nas implícitas derivar ambos os membros em ordem a x; nas paramétricas
Teoremas-chave
Fórmulas básicas de derivação:、、、 etc.
Regras aritméticas de derivação:、、
Derivação de funções compostas (regra da cadeia):
Derivada da função inversa:
Aplicações
Teste de monotonia: significa crescente, significa decrescente
Teste de extremos: mudança de sinal da primeira derivada, teste da segunda derivada ( dá um máximo)
Determinação de extremos: comparar valores em pontos estacionários, pontos não diferenciáveis e extremos
Concavidade e pontos de inflexão: determinam-se pelo sinal de
Assíntotas: determinação de assíntotas horizontais, verticais e oblíquas
Regra de L'Hôpital: e formas indeterminadas
Diferenciais
Conceitos-chave
Definição:, então , o diferencial é a parte principal linear do acréscimo
Diferenciabilidade e derivabilidade: em funções de uma variável são equivalentes
Significado geométrico do diferencial: o acréscimo da ordenada da tangente
Teoremas e regras-chave
Invariância da forma diferencial: quer u seja variável independente quer intermédia, é válido
Regras aritméticas dos diferenciais:、、
A invariância da forma diferencial de primeira ordem usa-se em cálculo aproximado e substituição em integrais
Aplicações
Cálculo aproximado:
Estimativa do erro: estimar o erro do valor da função a partir do erro da variável
Relação com a derivada: a derivada é o quociente diferencial , enquanto o diferencial privilegia a aproximação linear do acréscimo
Integrais
Integrais indefinidos
Conceito:, então , a operação inversa da derivação
Fórmulas básicas de integração: tabelas de potências, exponenciais, trigonométricas e inversas
Integração por substituição: primeiro tipo (ajuste do diferencial), segundo tipo (mudança de variável, incl. trigonométrica)
Integração por partes:, adequada a integrandos em forma de produto
Integração de funções racionais: decomposição em frações parciais e integração termo a termo
Integrais definidos
Conceito: o limite das somas de Riemann
Significado geométrico: a área algébrica do trapézio curvilíneo
Fórmula de Newton-Leibniz:, que reduz o cálculo de um integral definido à avaliação de uma primitiva
Propriedades do integral definido: linearidade, aditividade por intervalos, conservação do sinal, teorema de estimação, teorema do valor médio
Integral com limite superior variável:，
Teoremas e métodos-chave
Teorema do valor médio integral:，
Teorema fundamental do cálculo: a derivada do integral de limite variável é o integrando, base da fórmula de Newton-Leibniz
Substituição e integração por partes: mudar também os limites com a variável
Aplicações
Área: área de figuras planas (cartesianas, polares)
Volume: sólidos de revolução (método dos discos, das cascas)
Comprimento de arco, área de superfícies de revolução
Aplicações físicas: trabalho de uma força variável, pressão de fluidos, centro de massa
Equações diferenciais
Conceitos-chave
Definição: equação que contém uma função incógnita e as suas derivadas; a ordem é a da derivada mais alta
Solução geral e particular: a geral contém tantas constantes arbitrárias independentes quanto a ordem; as condições iniciais determinam a particular
Equações diferenciais de primeira ordem
Equações de variáveis separáveis:, separar e integrar ambos os membros
Equações homogéneas:, fazendo reduz a uma equação de variáveis separáveis
Equações lineares de primeira ordem:, solução geral
Equações de Bernoulli:, fazendo transforma-a numa equação linear de primeira ordem
Equações diferenciais exatas: e existe uma primitiva
Equações diferenciais de ordem superior
Tipos redutíveis: integrar sucessivamente; fazendo ； para , tomando y como variável independente
Equações lineares homogéneas de segunda ordem com coeficientes constantes:, a equação característica tem raízes que determinam a forma da solução geral (duas raízes reais distintas, raiz dupla, raízes complexas conjugadas)
Equações não homogéneas de segunda ordem com coeficientes constantes: solução geral = homogénea + particular; a forma da particular depende do termo livre (、 ) para definir a forma com coeficientes indeterminados
Teoremas-chave
Teorema de estrutura: a solução geral de uma equação não homogénea é a da homogénea associada mais uma solução particular
Princípio da sobreposição: se o termo livre é uma soma de vários termos, resolvem-se as soluções particulares em separado e somam-se
Teorema de existência e unicidade: sob condições de continuidade, o problema de valor inicial tem solução única
Séries
Séries de termos constantes
Conceito: converge se a sucessão das somas parciais tem limite; caso contrário, diverge
Condição necessária de convergência:(caso contrário, diverge)
Série geométrica:， converge, diverge
Série p:， converge, diverge
Critérios de convergência-chave
Critério de comparação: comparar com uma série conhecida convergente/divergente (incluindo a forma de limite)
Critério do quociente (d'Alembert):， significa convergência, significa divergência
Critério da raiz (Cauchy):, com a mesma regra de decisão do critério do quociente
Critério de Leibniz para séries alternadas: converge quando decresce monotonicamente para 0
Convergência absoluta e condicional: a absoluta implica convergência; a condicional testa-se em separado
Séries de potências
Conceito:, o intervalo de convergência está centrado no raio de convergência R
Cálculo do raio de convergência:，(ou obtido pelo critério da raiz)
Domínio de convergência: verificar os extremos separadamente além do intervalo
Propriedades das séries de potências: derivação e integração termo a termo no intervalo, raio inalterado
Desenvolvimentos: séries de Taylor, de Maclaurin, desenvolvimentos usuais (、、、、）
Séries de Fourier
Conceito: desenvolver uma função periódica em série trigonométrica, com coeficientes dados por fórmulas integrais
Teorema de Dirichlet: sob as condições, a série de Fourier converge para a função (nas descontinuidades, para a média dos limites laterais)
Séries de Fourier de funções ímpares/pares: as ímpares só termos em seno, as pares só termos em cosseno
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